矩阵的特征值与特征向量的求解方法

矩阵的特征值与特征向量的求解方法

陈 锋

（福州华侨中学    350004）

摘要：本文给出了一种只要对矩阵进行恰当的初等行（列）变换，就能同时求出矩阵的特征值与特征向量的方法.

关键词：矩阵   特征值   特征向量   初等行（列）变换   同步求法

1. 引言

矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要内容，所以如何对它们求解就成为问题的关键. 求矩阵的特征值与特征向量的一般方法是：

（1）       计算矩阵 的特征多项式 .

（2）       求出 在数域 上的全部根，就是 的全部特征值.

（3）       对于每个特征值 ，求出齐次线性方程组 的一组基础解系 ，则 即是 的属于特征值 的全部特征向量（其中 不全为零）.

2. 特征值与特征向量

接下来我们讨论另一种矩阵的特征值与特征向量的求法——同步求法.

在讨论之前，我们作如下约定：

（1）       表示矩阵 的转置.

（2）       表示矩阵 的秩.

（3）       表示 级单位矩阵.

（4）       → 表示初等行（列）变换.

（5）       ▍ 表示证明完毕.

定义 2. 1   设 是一个 级矩阵， 是数域 上的一个数，如果有非零向量 ,使得

..................................